Дистанційне навчання

Прогресії (теоретичний матеріал тут) 

Завдання

1.  Знайти різницю і п-й член заданої арифметичної прогресії:

a) 0; 2; 4; 6; … ;

б) –1; –5; –9; –13; … ;

в) –12; –9; –6; –3; … .

2.  Знайти двадцятий член арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 3, а різниця дорівнює 4.

3.  Знайти арифметичну прогресію, в якій сума перших трьох членів дорівнює 24, а сума квадратів цих самих трьох членів дорівнює 290.

4.  Знайти суму всіх двоцифрових натуральних чисел.

5.  Знайти суму всіх додатних парних двоцифрових чисел, що діляться на 3 без остачі.

6.  Знайти суму всіх натуральних чисел, кратних 7 і не більших 130.

7.  Знайти суму всіх трицифрових натуральних чисел, що при діленні на 3 дають остачу 2.

8.  Різниця другого і першого членів геометричної прогресії дорівнює 18, різниця четвертого і третього членів дорівнює 162. Знайти прогресію.

9.  Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 21. Якщо до них додати, відповідно, числа 1, 5, 25, то вийдуть три числа, що утворюють геометричну прогресію. Знайти числа, що утворюють арифметичну прогресію.

10.  Сума трьох чисел, що є послідовними членами арифметичної прогресії, дорівнює 11. Якщо друге число зменшити на 3, а третє збільшити на 26, то вийдуть три послідовних члени геометричної прогресії. Знайдіть ці числа.

12.  Сума трьох чисел, що утворюють зростаючу геометричну прогресію, дорівнює 65. Якщо від меншого з цих чисел відняти 1, а від більшого 19, то отримані три числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

13.  Якщо від чотирьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, відняти, відповідно, 5, 10, 12 і 8, то вийдуть числа, що утворюють геометричну прогресію. Знайти числа, що утворюють арифметичну прогресію.

14.  Знайти чотири числа, перші три з яких утворюють геометричну прогресію, а останні три – арифметичну. Сума крайніх чисел дорівнює 14, а сума середніх дорівнює 12.

Дистанційне навчання

Способи розв'язування квадратних нерівностей


Навчальний тест . КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Теорема Піфагора

Розв’яжіть задачі використовуючи теорему Піфагора 

1.   «Мені вдалося побудувати прямокутний трикутник, у якого довжини всіх сторін — цілі непарні числа», — сказав учень. Доведіть, використовуючи теорему Піфагора, що він помилився.

2.   У ромбі відомі сторона та одна з діагоналей. Як знайти іншу діагональ ромба, не користуючись рисунком?

3. а) Катети прямокутного трикутника 5 см і 12 см. Знайдіть гіпотенузу.

б) Гіпотенуза трикутника 5 см, а один із катетів дорівнює 3 см. Знайдіть другий катет.

в) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 . 4, а гіпотенуза дорівнює 15 см. Знайдіть периметр трикутника.

г) Периметр квадрата дорівнює 4 см. Знайдіть діагональ квадрата.

4.   Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см, а висота 12 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло?

5.   Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 65 см і 63 см. Знайдіть третю сторону.

6. Завдання індійського математика XII століття Бхаскары

«На березі річки росла самотня тополя.
Раптом налетівші вітри зламали її стовбур.
Бідна тополя впала, утворивши кут між
стовбуром і поверхнею води річки.
Запам’ятай тепер, що в цьому місці річка
У чотири лише фута була шириною.
Верхівка зламалася, залишивши всього
три фути від усього стовбура.
Прошу тебе, швидше мені скажи:
Яка висота тополі?»

7. Завдання з підручника «Арифметики» Леонтія Магницкого
«Сталося деякій людині до стіни сходи прибрати, стіни ж тієї висота була 117 стоп. І узяв він драбину завдовжки 125 стоп. І дізнатися він хоче, на скільки стоп, цю драбину нижнім кінцем від стіни відставити треба».

Задачі на множини

                                                       Вправи на різницю множин

1. Дано:Μ ={a,b, с, d}, N = {b, d}. Знайдіть:

a) M\N; (a, b, c)     б) N\M; (0)       в) (Μ \ Ν)U (Ν \ Μ). (a, b , c)

2. Доведіть:           а) А \ А = ;       б) А \ = А.

Вправи на переріз множин

1. Дано: А = {а, b, с, 1, 3}, В = {b, d, б, 3}, С = {b, 1, 6}. Знайдіть:

а) А B;(b,3)     б) А С; (b,1,)     в) В С;(b)     г) А В С. (b)

2. Доведіть: (А B) С=А (B С)=А В С.

3. Доведіть, якщо В А, то А В = В.

4. Доведіть: а) А А = А;   б)А = ;   в)А B=В А.

Золотий переріз

Задачі на фарбування

1. Скільки треба кубиків із стороною 1 см, щоб скласти з них кубик із стороною: а) 4 см; б) 5 см; в) а см?

 2. Квадрат поділили на квадрати із стороною 1 см та розфарбували у два кольори «шахматкою», тобто так, щоб два сусідні за стороною квадрати були різних кольорів. Скільки квадратів кожного кольору отримали, якщо довжина сторони великого квадрата дорівнює: а) 4 см; б) 5 см; в) 14 см; г) 25 см; д) n см?

Золотий переріз

 

В давнину числам приписували магічний зміст. Приміром, одиниця вважалася символом єдності всього сущого, якимось абсолютом. Двійка відбивала подвійність світу: матерія - дух, чоловік - жін-ка, день - ніч... До містичних результатів призводило також і застосування запозиченого в математи-ки поняття пропорції (числове співвідношення між частинами одного цілого). І найзагадковіший, найбільш легендарний й найчарівніший серед них - золотий переріз, що вплинув також і на сучасне мислення. Суть його в тому, що більша частина відноситься до меншої, як все ціле - до більшої. У грубому, побутовому варіанті пропорція золотого перерізу - це приблизно 8:5, а ще точніше - 13:8. Математиками підраховано більш точно: десяткове розкладання числа "фі" (числа золотого перерізу) має вигляд 1,61803398...

Біографія Піфагора

Математична індукція

 Математична вікторина

1. Яке найбільше натуральне число?

2. Скільки дільників має число 121?

Парність.Чергування. Розбиття на пари

1. Чи може кінь пройти з поля а1 на поле h8, при цьому побувати на кожному з інших полів рівно по одному разу?

Цікаві задачі та конструкції

1. Мені вдалося, взявши по два рази цифри 1, 2, 3, 4, написати восьмизначне число, в якого між одиницями стоїть одна цифра, між двійками дві, між трійками три, а між четвірками чотири цифри. Що це за число?

Подільність

Ератосфен Кіренський (276 рік до н. е.-194 рік до н. е.) — грецький математик, астроном, географ, філолог і поет. Перший відомий вчений, який обчислив розміри Землі. Початкову освіту Ератосфен отримав в Олександрії під керівництвом свого вченого земляка Калімаха. Іншим вчителем Ератосфена в Олександрії був філософ Лізній. Перебравшись потім в Афіни, він так тісно зблизився зі школою Платона, що зазвичай називав себе платоніком. Результатом вивчення наук в цих двох центрах була енциклопедична ерудиція Ератосфена; крім творів з математичних наук, він писав ще трактати «про добро і зло», про комедію та ін. З усіх своїх творів Ератосфен надавав особливого значення літературним і граматичним, із цього можна зробити висновок, що він любив називати себе філологом. У 245 році до н.е. цар Птолемей III Евергет запросив Ератосфена в Афіни для роботи в Олександрійській бібліотеці, де вже працювали його вчитель Калімах і Аполлоній Родоський. Ератосфен відгукнувся на запрошення, у віці близько тридцяти років він приїхав до Олександрії, де і залишився до самої смерті. Через п’ять років після приїзду він змінив Аполлонія Родоського на посаді голови Олександрійської бібліотеки. Як голова бібліотеки, Ератосфен займався навчанням дітей монарха — майбутнього правителя Птолемея IV і його сестри (а згодом і дружини) Арсіної. Він помер у 194 році до н.е., втративши посаду голови бібліотеки, до того ж він осліп. Ератосфена спіткала голодна смерть, але, ймовірно, не від безгрошів’я, а як досить жорстокий спосіб самогубства.

 Сито Ератосфена

1.Костя і Олексій поклали на стіл по 6 монет : 6 монет по 1 копійці й по 1 монеті в 1 карбованець, 50, 20, 15, 3 і 2 копійки. Монета в 15 копійок належала Кості, дві монети Олексія становили суму, що утричі перевищувала суму інших його монет. Кому належала монета в 50 копійок? 

Задачі на Принцип Діріхле

1.  Хлопчик розклав 10 аркушів паперу в  7 тек. Доведіть, що є  тека, у  якій лежать хоча б 2 аркуші.