1.
Чи може кінь пройти з поля а1 на поле h8,
при
цьому побувати на кожному з інших полів рівно по одному разу?
2.
На дошці 25x25 розставлено 25 шашок, причому їх розташування симетричне відносно діагоналі. Доведіть, що принаймні одна із шашок розташована на цій діагоналі.
3.
На прямій взяли декілька точок. Потім між кожними сусідніми вставили ще по одній точці. Так повторили декілька разів. Чи могли дістати
всього 2004 точки?
4.
Квадрат 7x7 заповнений числами так, що добуток чисел кожного рядка від'ємний. Доведіть, що добуток чисел принаймні одного стовпчика теж від'ємний.
5.
У загоні 120 осіб. Щовечора чергують троє. Чи можна скласти графік чергування
так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз?
6.
По колу розставлено 9 чисел — 4 одиниці і 5 нулів. Щосекунди з числами
проводять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні,
і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через
деякий час всі числа стати однаковими?
7.
На столі стоїть 10 склянок, перевернутих через одну догори дном. Чи можна,
перевертаючи їх парами, добитися того, щоб усі склянки стояли однаково?
8.
До 17-значного числа додали число, записане тими ж цифрами, але у зворотному
порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра здобутої суми парна.
9.
Шахова дошка розміром 6x6 покрита 18 кісточками доміно. Кожна кісточка покриває
дві клітинки дошки. Доведіть, що за довільного покриття можна розрізати дошку
на дві чистини по горизонтальній або вертикальній прямій, не пошкодивши жодної
кісточки доміно.
10.
Перестановкою цифр числа х утворене п-цифрове число «у». При яких значеннях п сума х+у може бути записана лише дев'ятками?
11.
На колі позначено 20 точок, які є вершинами правильного 20-кутника. Після цього
вони розбиті на 10 пар і в кожній парі точки з'єднано хордою. Доведіть, що якісь дві хорди мають однакову довжину.
Немає коментарів:
Дописати коментар