Цікаві задачі та конструкції

1. Мені вдалося, взявши по два рази цифри 1, 2, 3, 4, написати восьмизначне число, в якого між одиницями стоїть одна цифра, між двійками дві, між трійками три, а між четвірками чотири цифри. Що це за число?

2. Чи можна заповнити дошку розміром 6х6 плитками 1х4?

3. Сказав Кощій Івану-царенку: «Жити тобі до завтрашнього ранку. Ранком з’явишся перед мої очі, я загадаю три цифри a, b, c. Ти назвеш мені три числа: x, y, z. Вислухаю я тебе і скажу, чому дорівнює вираз ax + by + cz. Тоді відгадай, які a, b, c я загадав. Не відгадаєш – голову зніму». Засмутився Іван-царенко, пішов думу думати. Треба йому допомогти. Як?

4. Знайдіть найменше натуральнее число, сума цифр якого дорівнює 1982 

5. Хлопчик переміщує фішку на шаховій дошці, причому за один хід дозволяється перемістити її в одну з сусідніх клітинок по діагоналі. Чи можна  пофарбувати клітинки шахової дошки у чотири кольори так, щоб за два ходи не можна було б із будь-якої клітинки попасти в іншу, яка має такий же колір?

6. У клітинки квадрата 3х3 запишіть різні натуральні числа так, щоб 6 добутків (по рядках і стовпчиках) були рівні між собою.

7. За круглим столом сидять 12 аборигенів, кожний з яких є або брехуном (завжди каже неправду), або лицарем (завжди каже правду). Кожен сказав: «Лише один з моїх сусідів — брехун». Скільки лицарів було за столом?

8. Згадайте або придумайте, як з допомогою лише лінійки (без поділок), циркуля та олівця позначити середину заданого відрізка.

9.Двоє гравців грають у гру. Спочатку вони склали купку з 2010 камінців. Після цього перший гравець бере з купки 1, 2 або 3 камінці, далі те саме робить другий, потім знову перший і т. д. Гра зупиняється тоді, коли в купці не лишається камінців. Переможцем вважають того гравця, який забрав з купки останні камінці. Хто виграє за правильної гри: перший гравець чи другий?

10. Простим називається натуральне число, більше від 1, яке ділиться лише на себе й на одиницю. Знайдіть усі прості числа p такі, що p + 3 — також просте.

11. Поліна, Даша, Олена та Юля були на математичній олімпіаді. У відповідь на питання «Хто з вас розв’язав останню задачу?» кожна дівчинка висловила два твердження:
Поліна: «Даша не розв’язала задачі. Я теж її не розв’язала».
Даша: «Юля розв’язала задачу. А от Олена — ні».
Олена: «Задачу розв’язала Юля. А ось я не змогла».
Юля: «Поліна розв’язала задачу. Олена — теж».
Хто міг розв’язати задачу, якщо кожна дівчинка один раз сказала правду, а один раз помилилася? Перерахуйте всі можливі випадки: задачу могли розв’язати й кілька дівчат одразу.

12. З’ясуйте, при яких n сума n перших натуральних чисел (1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n) ділиться на n.